Vektorfunktioner er en udvidelse af funktionsbegrebet. Vektorfunktioner er nyttige, når vi skal beskrive bevægelse. Det kan være en fodbold, som triller på græsset eller sparkes mod mål henover en mur af modstandere.
I computerspil bruges vektorfunktioner til at styre, hvor de forskellige genstande befinder sig. Vektorfunktioners værdi styres af en parameter, som oftest tiden, og derfor kan man bruge vektorfunktioner til at styre placeringen af forskellige figurer i et computerspil som funktion af tiden.
Funktioner – en sammenhæng mellem x og y
En funktion beskriver sammenhængen mellem en uafhængig variabel, \(x\), og en afhængig variabel, \(y\). Sammenhængen beskrives med en funktionsforskrift \(f(x)\). Når vi tegner grafen for funktionen \(f\) er punkterne \((x,y)=(x,f(x))\) en del af grafen.
Du kender allerede forskellige typer funktioner.
| Funktionstype | Funktionsforskrift |
|---|---|
| Lineær | \(f(x)=a\cdot x+b\) |
| Eksponentiel | \(f(x)=b\cdot a^x\) |
| 2. grads polynomium | \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) |
| Logaritmefunktion | \(f(x)=\rm{ln}(x)\) |
Husk, at hvis sammenhængen skal være en funktion, skal der til enhver x-værdi i definitionsmængden være netop én y-værdi. Så kaldes den en reel funktion.
Definition – vektorfunktion
For en parameter \(t\in I\), hvor \(t\) er et reelt tal og \(I\) er et interval, kan vi definere to reelle koordinatfunktioner \(x(t)\) og \(y(t)\)
En vektorfunktion defineres som en vektor, der afhænger af parameteren \(t\) og bestemmes ved koordinatfunktioner \(x(t)\) og \(y(t)\):
\(\vec{s}(t)=\left( \begin{array}{c}x(t) \\ y(t)\end{array}\right)\)
En vektorfunktion er en funktion, hvor definitionsmængden består af reelle tal og værdimængden af vektorer.
Definition – banekurve
For en vektorfunktion \(\vec{s}(t)\) med parameteren \(t\) kan vi definere en banekurve som mængden af punkter, der har \(\vec{s}(t)\) som stedvektor, mens \(t\) tilhører definitionsmængden \(I\).
Banekurvens gennemløbsretning bestemmes af parameteren \(t\), når \(t\) gennemløber intervallet \(I\) i voksende retning.
1. Bevægelse af bolde i spil
Undersøg
- hvordan bolden bevæger sig
- hvordan boldens bevægelse beskrives matematisk
- hvilken formel i formelsamlingen svarer til boldens bevægelse
Undersøg
- hvordan bolden bevæger sig
- hvordan man kan beskrive boldens bevægelse ved hjælp af en stedvektor
- hvilken formel i formelsamlingen svarer til boldens bevægelse
1.3.1 – Forstå koden
Undersøg koden, som styrer en bold med en lineær bevægelse- Find det sted i programmet, hvor boldens placering til tiden \(t=0\) bestemmes
- Hvad hedder de variable, som bestemmer boldens placering til tiden \(t=0\) ?
- Hvor er bolden placeret til tiden \(t=0\) ?
- Find det sted i programmet, hvor retningsvektoren for boldens bevægelse bestemmes
- Hvad hedder de variable, som bruges til x- og y-koordinaterne for retningsvektoren?
- Hvilken værdi har retningsvektoren?
- Hvordan styres parameteren for tiden i programmet?
1.3.2 – Sammenlign koden og matematikken bag
- Find den formel i formelsamlingen, som svarer til koden.
- Hvad svarer x0 og y0 fra koden til i formlen ?
- Hvad svarer vx og vy fra koden til i formlen ?
- Hvad svarer t fra koden til i formlen ?
1.4.1 – y-koordinatfunktionen
Nu skal du indsætte tal i stedet for y0 og vy for at ændre boldens bevægelse- Lav en ændring af koden, så bolden passerer \((-2,4)\), når \(t=0\)
- Lav en ændring af koden, så hældningen for linjen bliver dobbelt så stor
1.5.1 – koden for både x- og y-koordinaterne
Nu skal du skrive koden, som bestemmer koordinatfunktionerne:- Indsæt et udtryk for x-koordinatfunktionen for en lineær bevægelse
- Indsæt et udtryk for y-koordinatfunktionen for en lineær bevægelse
Vi kan tilføje et led til y-koordinatfunktionen, så banekurven bliver en parabel.
Indtil nu har vi brugt to lineære koordinatfunktioner
\(x(t)=x_0+t\cdot v_x\)
\(y(t)=y_0+t\cdot v_y\)
Vi kan tilføje et 2.-ordens led til y-koordinatfunktionen
\(y(t)=y_0+t\cdot v_y + t^2\)
Hvis du har fysik på b-niveau, kender du måske bevægelse med konstant acceleration
\(y(t)=y_0+t\cdot v_y -\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\)
hvor konstanten i 2.-ordens leddet \(-\frac{1}{2}\cdot g\) viser, at bolden påvirkes af tyngdekraften og accelerer ned mod jorden med tyngdeaccelerationen \(g\).
1.6.1 – y-koordinatfunktionen for parablen
- Tilføj et 2.-ordens led til y-koordinatfunktionen – hint: man kan ikke skrive \(t^2\), så husk at \(t^2=t\cdot t\)
- Indsæt en konstant i 2.-ordens leddet. Vælg konstanten, så parablens grene vender opad.
- Ændre konstanten i 2.-ordens leddet. Vælg konstanten, så parablens grene vender nedad.
- Hvilken værdi skal konstanten have, hvis bevægelsen skal svare til en bold, som påvirkes af jordens tyngdekraft? Afprøv dit svar.
1.7.1 – Undersøg koden
- Hvad sker der, når du trykker på Start-knappen?
- Hvorfor sker dette?
1.7.2 – En simpel vektorfunktion
- Ændr koordinatfunktionerne til \(x(t)=5\cdot t\) og \(y(t)=2\cdot t\)
- Hvilken type bevægelse er dette?
1.7.3 – En funktion
- Ændr koordinatfunktionerne til \(x(t)=t^2\) og \(y(t)=2\cdot t\)
- Hvilken type bevægelse er dette?
- Er det en funktion?
- Overvej, om alle vektorfunktioner kan omskrives til reelle funktioner. Hvorfor eller hvorfor ikke?
1.7.4 – Andre vektorfunktioner
- Ændr koordinatfunktionerne til \(x(t)=t^2\) og \(y(t)=t^2\)
- Beskriv bevægelsen af bolden?
1.7.5 – Flotte banekurver
- Ændr koordinatfunktionerne til \(x(t)=t^3\) og \(y(t)=t^2\)
- Beskriv bevægelsen af bolden?
1.7.6 – Lav dine egen banekurver
- Lav ændringer i koordinatfunktionerne og se hvordan banekurven kommer til at se ud.
- Undersøg, om du kan lave en banekurve, som krydser sig selv.
- Lav mange forskellige koordinatfunktioner og undersøg, om du kan styre banekurvens udseende ved at lave kombinationer der er ulige orden af \(t\) (\(t\), \(t^3\), \(t^5\)) og lige orden (\(t^2\), \(t^4\)).
- Lav din flotteste banekurve. Tag et skærmbillede af banekurven og notér koordinatfunktionerne. Del med resten af klassen.
Nu skal du tegne vektorfunktioner i Maple.
Grafen for en parameterfremstilling
Ofte bruger vi udtrykket parameterfremstilling, når vi vil lægge vægt på den parameter, som indgår i udtrykket for vektorfunktionen.
Vi begynder med parameterfremstillingen for den rette linje. Samtidigt med at du læser teksten, skal du indtaste eksemplet i Maple, så du kan se, om det virker for dig.
Stedvektor til begyndelsespunktet
Først laver du en stedvektor til begyndelsespunktet, dvs. det punkt, som svarer til at parameteren t er nul. Ofte er t tiden, så svarer t = 0 til et begyndelsestidspunkt for bevægelsen.
Retningsvektor for linjen
Derefter skal du lave en retningsvektor for linjen. I de små spil du har kigget på, har det været hastighedsvektoren for bevægelsen.
Parameterfremstillingen for linjen
Når vi kender begyndelsespunktet (ankerpunktet) og retningsvektoren for vores linje, kan vi opskrive parameterfremstillingen for linjen:
Check altid ved at skrive funktionen, at l(t) er blevet, som du gerne ville have den.
Tegn en graf for vektorfunktionen
Nu er du klar til at tegne grafen for vektorfunktionen.
Husk: du skal bruge with(Gym)
Bemærk de forskellige options:
- t=0..10 – bruges til at bestemme intervallet for parameteren t, dvs. de værdier af t, som inkluderes i grafen.
- view – bruges til at vælge intervallet for x- og y-koordinaterne.
- labels og labelfont – bruges til at vise, hvad akserne repræsenterer og styre størrelsen af labels.
- font – bruges til at styre størrelsen af tallene på akserne
Opgave 1.9.1
Tegn grafen for vektorfunktionen
\(k(t)=\left(\begin{array}{c} t+t^2 \\ 3+5 t \end{array}\right)\) for \(t\in [-10,10]\) i grafvinduet \(-10<x<50\) og \(-50<y<50\)
Opgave 1.9.2
Tegn grafen for vektorfunktionen for den rette linje med
\(x_0=5\)
\(y_0=9\)
og retningsvektoren
\(\vec{r}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 7 \end{array}\right)\)
for \(t\in [-5,20]\) i grafvinduet \(-30<x<40\) og \(-80<y<100\)
Opgave 1.9.3
Tegn grafen for en vektorfunktion koordinatfunktionerne
\(x(t)=20+4\cdot t\)
\(y(t)=30+5\cdot t + 6\cdot t^2\)
for \(t\in [-8,5]\) i grafvinduet \(-10<x<40\) og \(0<y<200\)
Opgave 1.9.4
Lav en opgave til din makker, hvor du finder på et udtryk for koordinatfunktionerne til en vektorfunktion
Opgave 1.9.5
Modtag en opgave fra din makker og lav grafen for vektorfunktionen
2. Banekurvens forløb
Undersøg banekurven
- Hvordan kan man lave en vektorfunktion, som laver sløjfer, som den viste?
- Hvilke værdier har x, y og parameteren t, når banekurven skærer akserne?
Undersøg banekurven
- Hvilke værdier har x, y og parameteren t, når banekurven krydser sig selv?
3. Hastighed og acceleration
3.1.1 – Undersøg hastighedsvektoren
Undersøg hastighedsvektoren for denne vektorfunktion- Passer vektorens længde og retning med boldens bevægelse?
- Til hvilke tidspunkter er hastighedsvektoren vandret?
- Til hvilke tidspunkter er hastighedsvektoren lodret?
3.1.2 – Tangent til en banekurve
- Overvej, hvordan et matematisk udtryk for en tangent til banekurven kan skrives, når du kender tidspunktet t(værdien af parameteren t) og værdien af hastighedsvektoren til dette tidspunkt.
3.1.3 – Undersøg accelerationen
Klik på “Vis acceleration” Undersøg accelerationsvektoren- Undersøg sammenhængen mellem hastighedsvektoren og accelerationsvektoren.
- Passer længden og retning af accelerationsvektoren med ændringerne i hastighedsvektoren?
4. Cirkelbevægelse
4.1.1 – Undersøg cirkelbevægelsen
Varier skyderne for r, a og b- Hvad bestemmer værdien af r ?
- Hvad bestemmer værdien af a ?
- Hvad bestemmer værdien af b ?
- Find formlen, som svarer til cirkelbevægelsen i formelsamlingen.
- Opfører cirklen sig som forventet?
4.1.2 – Undersøg hastighedsvektoren
Undersøg hastighedsvektoren for cirkelbevægelsen – klik på “Vis hastighed”- Passer vektorens længde og retning med boldens bevægelse?
- Hvad sker der, når du ændrer r?
- Hvad sker der, når du ændrer a eller b?
4.1.3 – Undersøg accelerationsvektoren
Undersøg accelerationsvektoren – klik på “Vis accelleration”- Undersøg sammenhængen mellem hastighedsvektoren og accelerationsvektoren
- Passer længden og retning af accelerationsvektoren med ændringerne i hastighedsvektoren?
- Hvad sker der, når du ændrer r?
4.2.1 – Forstå koden
Undersøg koden, som styrer boldens cirkelbevægelse- Find det sted i programmet, hvor cirklens radius bestemmes.
- Hvad hedder den variable, som bestemmer cirklens radius ?
- Prøv at ændre værdien af variablen r, og se om der sker det, du forventer.
- Hvor er bolden placeret til tiden \(t=0\) ?
- Find det sted i programmet, hvor stedvektoren for bolden bestemmes.
- Find det sted i programmet, hvor hastighedsvektoren bestemmes.
- Hvad hedder de variable, som bruges til koordinaterne for hastighedsvektoren?
4.2.2 – Hastighedsvektoren
Undersøg koden, som styrer hastighedsvektoren- Sammenlign udtrykket for x og vx. Forklar, hvordan man bestemmer vx ud fra udtrykket for x
- Sammenlign udtrykket for y og vy. Forklar, hvordan man bestemmer vy ud fra udtrykket for y
4.2.3 – Accelerationsvektoren
Undersøg accelerationsvektoren- Undersøg sammenhængen mellem hastighedsvektoren og accelerationsvektoren
- Passer længden og retning af accelerationsvektoren med ændringerne i hastighedsvektoren?
- Er accelerationsvektoren korrekt ?
4.2.4 – Accelerationsvektorens kode
Undersøg koden som styrer accelerationsvektoren- Sammenlign udtrykket for x, vx og ax. Er koden for ax korrekt?
- Forklar, hvordan man bestemmer ax ud fra udtrykket for vx.
- Sammenlign udtrykket for y, vy og ay. Er koden for ay korrekt?
- Forklar, hvordan man bestemmer ay ud fra udtrykket for vy.
- Bestem de korrekte udtryk for ax og ay og indtast dem. Check at accelerationsvektoren opfører sig korrekt.
- Prøv at ændre værdien af variablen r, og se om der sker det, du forventer.
Mischa Sloth Carlsen 
Louise Dalgaard 
Cecilie Bepler